یک کران روی مرتبه گروهی که دارای درجه ی کاراکتری بزرگی است

فرض کنید ‎$ d $‎ درجه ی یک کاراکتر تحویل ناپذیر از گروه متناهی ‎$ g $‎ باشد، می دانیم که ‎$ d mid vert g vert $‎ و همچنین ‎$ d^{2} leq vert g vert $‎. به ازای ‎$ e eq o $‎، داریم: ‎$ vert g vert = d (d‎ + ‎e) $‎. واضح است که اگر ‎$ e = o $‎‏‏‏‏، ‎$ g $‎ گروه بدیهی خواهد بود به طور مشابه به ازای ‎$ e = 1 $‎ که کلاسبندی توسط بئرکویش‎ در قضیه ‎$ 7 $‎ از ‎$ [1] $‎ کامل شده بود نشان داد که ‎$ e = 1 $‎ است، اگر و فقط اگر ‎$ vert g vert = 2 $‎ یا ‎$ g $‎ یک گروه فروبینیوس‎ $ 2 $-‎گانه متعدی باشد. حالت ‎$ e = 2 $‎ در دو مرجع ‎$ [1] $‎ و ‎$ [30] $‎ منتشر شده و همینطور برای حالت ‎$ e = 3 $‎ کلاسبندی توسط اسنایدر‎‎ در ‎$ [30] $‎ کامل شده است. برای هر دو حالت ‎$ e = 2 $‎ و ‎$ e = 3 $‎ فقط تعداد متناهی از گروهها با این مقادیر ‎$ e $‎ وجود دارد. برای حالت ‎$ e = 1 $‎ در حقیقت خلاف قاعده ای به عنوان کران بالا روی ‎$ vert g vert $‎ وجود ندارد. روش اول از اثبات اسنایدر در ‎$ [30] $‎ برای ‎$ e geq 2 $‎ یک کران بالا روی ‎$ vert g vert $‎ شامل ‎$ e $‎ می باشد. آیزاکس بعداً در ‎$ [14] $‎ اثبات کرد که یک کران چندجمله ای برای مرتبه ای از ‎$ g $‎ با ‎$ be^{6} $‎ وجود دارد که ‎$ b $‎ یک عدد ثابت است. آیزاکس برای رسیدن به کران روی ‎$ vert g vert $‎ در حالتی که ‎$ g $‎ یک زیرگروه نرمال مینیمال غیرآبلی منحصربفرد دارد، در ‎$ [21] $‎ از نتایج لارسن‎،‎ مل‎ و تیپ‎استفاده کرد که به کلاسبندی گروههای ساده وابسته است. با بدست آوردن یک کران از ‎$ e^{6}‎ - ‎e^{4} $‎ به عدد ثابت و نامعلوم ‎$ b $‎ دست می یابیم. این عمل را بدون وابستگی به کلاسبندی با نمایش دادن ‎$ dgeq e^{2} $‎ انجام می دهیم، پس ‎$ g $‎ یک زیرگروه نرمال مینیمال منحصربفرد دارد که آبلی است. در مجموع می بینیم که در بسیاری از موارد بدست آوردن کران از ‎$ e^{4}‎ + ‎e^{3} $‎ ممکن است و شرایط کافی برای تضمین یک کران از ‎$ e^{4}‎ - ‎e^{3} $‎ را توضیح می دهیم.